Finanças com HP e EXCEL: Risco e Retorno com o uso do Microsoft Excel: gráfico explicativo dos benefícios da diversificação (correlação) em carteiras com dois ativos de risco

Em minhas aulas na disciplina Administração Financeira do curso de Administração da UFCG, especialmente no semestre 2014.1, tenho percebido um excelente nível de interesse por parte dos alunos em relação ao assunto "Diversificação em Carteiras com dois Ativos de Risco" quando, logo após as exposições teóricas, executo as demonstrações práticas com o Microsoft Excel. A possibilidade de mostrar instantaneamente as mudanças no conjunto de oportunidades de investimento a partir de simples alterações no valor da correlação, isso depois de pronto um bom modelo de planilha, aguça consideravelmente a curiosidade até mesmo dos discentes menos afeitos ao conteúdo de finanças. Todos se mostram inconformados em apenas observar o gráfico sendo alterado, querem aprender a fazer seus próprios modelos de planilhas - e conseguem, inclusive com a promoção de incrementos didáticos substanciais aos gráficos (alguns exageram só um pouquinho com as cores).

Sendo assim, resolvi fazer uma postagem dedicada exclusivamente à elaboração de um modelo simples de planilha ao estudo dos benefícios da diversificação em carteiras com dois ativos de risco. Por motivos didáticos, evitei substituir as fórmulas usuais do assunto por funções do Microsoft Excel - mas já estou finalizando outra postagem, com duas blue chips de empresas brasileiras, na qual mostrarei como usar somente funções.

Antes de começar a desenvolver o modelo básico exposto a seguir, faça uma breve revisão do tópico diversificação em carteiras com dois ativos de risco.

Para começar, construa o modelo de planilha apresentado nas Figuras 1 e 2. Detalhe: a Figura 2 não está errada; considerei 10.001 carteiras em virtude da possibilidade de obtenção de um único gráfico capaz de agrupar todos os conjuntos de oportunidades de investimento para correlações 1, 0,5, 0, -0,5 e -1 e, também, por permitir considerar precisamente todas as carteiras de risco mínimo; para elencar 10.001 composições, utilizei uma diferença entre as proporções dos ativos "A" e "B" de apenas 0,0001 (0,01%). Ainda, "W RM", coluna "A", refere-se aos valores das proporções dos ativos nas carteiras de risco mínimo.

Figura 1

Figura 2

Comecemos então com as composições responsáveis pelas carteiras de risco mínimo:

para dois ativos perfeitamente correlacionados, a carteira de risco mínimo tem o mesmo risco do ativo de menor risco, por isso atribua 0,00% para o ativo "A", por ter o maior risco, e 100% para "B", exatamente como descrito na Figura 3;

Figura 3

de acordo com a Figura 4, para a hipótese de os ativos apresentarem correlação de 0,5, a fórmula de cálculo das proporções de risco mínimo já pode ser aplicada - recomendo arredondar para 4 casas decimais a resposta, por isso inseri a fórmula dentro da função "ARRED" (0,00% para "A" significa um conjunto de oportunidades de investimento sem a presença de uma carteira com risco inferior ao risco do ativo de menor risco, sendo a mesma situação quando a correlação é perfeitamente positiva, todavia, como será mostrado mais adiante, benefícios da diversificação são percebidos quando a correlação está abaixo de 1,00);

Figura 4

a Figura 5 traz a hipótese de a correlação entre os ativos ser 0,0, neste caso a fórmula de cálculo das proporções de risco mínimo assume uma versão mais simples (20,00% para "A", diferente das duas circunstâncias anteriores, significa um conjunto de oportunidades de investimento com a presença de carteiras com riscos inferiores ao risco do ativo de menor risco, situação onde os benefícios da diversificação são bem mais intensos aos constatados com a correlação 0,5);

Figura 5

sendo de -0,5 a correlação, Figura 6, aplica-se novamente a fórmula tradicional de cálculo das proporções de risco mínimo (28,57% para "A" informa um conjunto de oportunidades de investimento com a presença de mais carteiras com riscos inferiores ao risco do ativo de menor risco, indicando maior incidência de benefícios da diversificação);

Figura 6

finalmente, com correlação -1,0, retratada na Figura 7, aplica-se novamente mais uma versão simplificada da fórmula dedicada ao cálculo das proporções de risco mínimo (33,33% para "A" informa um conjunto de oportunidades de investimento com a presença de mais carteiras com riscos inferiores ao risco do ativo de menor risco e, ainda, 33,33% é exatamente a proporção a ser atribuída ao ativo "A" à obtenção do benefício máximo da diversificação, com o risco da carteira totalmente anulado).

Figura 7

Calculadas as carteiras de riscos mínimos para as correlações 1, 0,5, 0, -0,5 e -1, o próximo passo no estudo dos benefícios da diversificação deve ser direcionado à definição dos conjuntos de oportunidades de investimento.

As Figuras 8 a 17 detalham as formações dos conjuntos de oportunidades de investimento, onde:

como mostra a Figura 8, as proporções dos ativos "A" e "B" devem ser inseridas nas colunas "F" e "G" - a primeira carteira, justamente a carteira de risco mínimo para as correlações 1 e 0,5, tem como composição 0% para "A" e 100% para "B" (digite a fórmula 1 menos a proporção de "A" na célula "G4");

Figura 8

as Figuras 9 e 10 ensinam como criar a série de proporções para "A", a ser iniciada com 0,00% e finalizada com 100,00% e com variação de 0,0001 (0,01%) - segundo a Figura 9, em "Página Inicial" procure por "Preencher", depois, conforme a explicação da Figura 10, defina as características da série;

Figura 9

Figura 10

a Figura 11 orienta a clicar duas vezes rápido na extremidade direita inferior da célula "G4", correspondente ao valor da proporção do ativo "B" na primeira carteira, assim o procedimento "1 menos a proporção do ativo A" será expandido até a última carteira;

Figura 11

conforme a demonstração da Figura 12, calcule o retorno da primeira carteira através da média ponderada envolvendo os retornos isolados dos ativos e suas respectivas proporções (pesos), depois clique duas rápido no lado direito inferior da célula "H4" para expandir o procedimento - não esqueça de fixar as células com os valores dos retornos dos ativos;

Figura 12

na Figura 13 constam as instruções ao cálculo dos riscos de todas as carteiras sob a hipótese de correlação perfeitamente positiva, sendo assim, e somente com correlação 1,00, a fórmula tradicionalmente empregada na apuração do risco de uma carteira (em amarelo) pode ser substituída por uma versão simplificada (fórmula em verde), procedimento muito semelhante ao cálculo dos retornos das carteiras (média ponderada) - digite a fórmula simplificada tendo o cuidado de fixar as células dos riscos dos ativos, na sequência clique duas vezes rápido no lado direito inferior da célula "I4" para calcular os riscos de todas as carteiras;

Figura 13

a Figura 14 detalha os passos ao cálculo dos riscos de todas as carteiras sob a hipótese de correlação estimada em 0,5, justificativa ao emprego direto da fórmula clássica do risco de uma carteira - digite a fórmula fixando as células com os riscos dos ativos e a correlação entre ambos, posteriormente clique duas vezes rápido no lado direito inferior da célula "J4" para calcular os riscos das carteiras distribuídas abaixo;

Figura 14

a Figura 15 mostra como calcular os riscos de todas as carteiras sob a hipótese de correlação nula, sendo assim, a fórmula clássica do risco de uma carteira (em amarelo) pode ser substituída por outra versão simplificada (fórmula em verde) - lembre-se de digitar a fórmula fixando as células dos riscos dos ativos, depois clique duas vezes rápido no lado direito inferior da célula "K4" para calcular os riscos de todas as carteiras;

Figura 15

as Figuras 16 e 17 expõem os passos para calcular os riscos de todas as carteiras sob as hipóteses de correlações estimadas em -0,5 e -1, respectivamente, sendo suficiente em ambos os casos aplicar a fórmula clássica do risco de uma carteira - é necessário fixar as células com os riscos dos ativos e as correlações entre ambos.

Figura 16

Figura 17

Definidas as carteiras com os menores riscos e formados os conjuntos de oportunidades de investimento para correlações 1, 0,5, 0, -0,5 e -1, agora basta construir o gráfico explicativo usado no estudo dos benefícios da diversificação.

As próximas Figuras, 18 a 31, expõem todos os passos à construção do gráfico com todos os conjuntos de oportunidades de investimento:

com base na Figura 18, clique numa célula em branco duas colunas distante dos conjuntos de oportunidades de investimento, em seguida insira um gráfico de "Dispersão com Linhas Suaves" - sem especificar os pares ordenados, o gráfico permanecerá provisoriamente sem dados;

Figura 18

como mostra a Figura 19, clique com o lado direito do mouse sobre o gráfico para acionar "Selecionar Dados";

Figura 19

como na Figura 20, clique em "Adicionar" para inserir a primeira série de pares ordenados;

Figura 20

proceda da forma como esclarece a Figura 21 para inserir os pares ordenados do conjunto de oportunidades de investimento sob a hipótese de correlação perfeitamente positiva - preencha "Nome da série" com a célula reservada ao tipo de correlação, "Valores de X da série" com todos os riscos e "Valores de Y da série" com todos os retornos;

Figura 21

a Figura 22 representa a primeira versão do gráfico, somente com o conjunto de oportunidades de investimento para a correlação perfeitamente positiva - não esqueça de inserir o título do gráfico e os rótulos dos eixos e de mudar a cor da reta para vermelho (com a correlação 1 para os dois ativos, as carteiras possíveis têm riscos distribuídos entre o risco do ativo de menor risco e o risco do ativo de maior risco, assim não há sequer uma carteira com risco inferior ao risco do ativo de menor risco, pois a correlação mencionada não se enquadra na possibilidade de gerar benefícios por meio da diversificação);

Figura 22

a Figura 23 reproduz a instrução da Figura 21, mas agora para a hipótese de correlação estimada em 0,5;

Figura 23

a Figura 24 mostra a segunda versão do gráfico, agrupando os conjuntos de oportunidades de investimento para correlações 1 e 0,5 - mude a cor da representação do conjunto da correlação 0,5 para azul (mesmo sem a correlação 0,5 conseguir produzir com os ativos A e B uma combinação com risco inferior ao risco do ativo de menor risco, o benefício da diversificação já pode ser percebido, basta observar a possibilidade de serem alcançados retornos maiores no conjunto em azul para riscos do conjunto em vermelho ou, se preferir, de serem suportados riscos menores no conjunto em azul para retornos do conjunto em vermelho);

Figura 24

a Figura 25 ilustra como inserir no gráfico o conjunto de oportunidades com correlação estimada em 0;

Figura 25

a Figura 26 expõe a terceira versão do gráfico, agrupando os conjuntos de oportunidades de investimento para correlações 1, 0,5 e 0 - mude a cor da representação do conjunto da correlação 0 para amarelo (além da intensificação da vantagem explicada com a correlação reduzida de 1 para 0,5, a variação para 0 consegue gerar o benefício adicional de fazer constar no conjunto em amarelo carteiras com riscos inferiores ao risco do ativo de menor risco, mas é preciso ter cuidado com as composições abaixo da carteira de risco mínimo, pois seus respectivos riscos também formam pares ordenados com retornos maiores, constituindo os pontos da curva distribuídos entre a carteira de risco mínimo e a composição com risco igual ao risco mínimo quando a correlação é perfeitamente positiva);

Figura 26

a Figura 27 demonstra como inserir no gráfico o conjunto de oportunidades com correlação estimada em -0,5;

Figura 27

a Figura 28 apresenta a quarta versão do gráfico, agrupando os conjuntos de oportunidades de investimento para correlações 1, 0,5, 0 e -0,5 - mude a cor da representação do conjunto da correlação -0,5 para cinza (todos os benefícios relatados quando da redução da correlação de 0,5 para 0 são aprimorados com a variação até -0,5);

Figura 28

a Figura 29 mostra como inserir no gráfico o conjunto de oportunidades com correlação estimada em -1;

Figura 29

finalmente, com o gráfico da Figura 30 pronto, agrupando os conjuntos de oportunidades de investimento para correlações 1, 0,5, 0, -0,5 e -1, o estudo dos benefícios da diversificação pode ser realizado satisfatoriamente - mude a cor da representação do conjunto da correlação -1 para verde (a correlação perfeitamente negativa exprime a configuração de onde se pode extrair o máximo de benefícios resultantes da diversificação, inclusive com a promoção de uma carteira de risco mínimo com risco nulo, ilustrado no encontro das duas retas de sua representação gráfica no eixo correspondente ao retorno da carteira).

Figura 30